教程：品质升级数学

怎么样的品质升级工厂能产出最多的传说物品？

很可惜这个问题并不简单，很多因素都能够影响到答案。但是好在插件的可能性是有限的，至于无限科技，简单起见就直接忽略掉吧。先上结论：

最佳配比

下面的表格显示了品质插件与产能插件的最佳配比，回收机全放品质插件，因为只能放品质插件。数值可能不是整数，这是因为通常不会只用一台机器，而不同机器可以装不一样的插件。比方说，“3.67 品质插件 / 1.33 产能插件”可以表示总共 4 台机器，其中 3 台装了 4 个品质插件和 1 个产能插件，剩下一台装了 3 个品质插件和 2 个产能插件。

下面“X 品质所用的插件”一列表示，生产 X 品质物品的机器需要使用何种插件配比。

插件全都没有品质

机器	基础品质所用的插件	精良品质所用的插件	稀有品质所用的插件	史诗品质所用的插件	传说品质所用的插件	产出传说物品的比例	回收的物品*
化工厂	3 品质 0 产能	3 品质 0 产能	3 品质 0 产能	3 品质 0 产能	0 品质 3 产能	0.034014%	2940
组装机3型	4 品质 0 产能	4 品质 0 产能	4 品质 0 产能	4 品质 0 产能	0 品质 4 产能	0.046275%	2161
铸造厂	4 品质 0 产能	4 品质 0 产能	4 品质 0 产能	4 品质 0 产能	0 品质 4 产能	0.133814%	747
电磁工厂	5 品质 0 产能	5 品质 0 产能	5 品质 0 产能	5 品质 0 产能	0 品质 5 产能	0.176712%	566
低温工厂	6 品质 2 产能	6 品质 2 产能	6 品质 2 产能	6.5 品质 1.5 产能	0 品质 8 产能	0.119134%	840

插件用精良品质

机器	基础品质所用的插件	精良品质所用的插件	稀有品质所用的插件	史诗品质所用的插件	传说品质所用的插件	产出传说物品比例	回收的物品*
化工厂	3 品质 0 产能	3 品质 0 产能	3 品质 0 产能	3 品质 0 产能	0 品质 3 产能	0.059498%	1681
组装机3型	3.75 品质 0.25 产能	3.75 品质 0.25 产能	3.8 品质 0.2 产能	3.9 品质 0.1 产能	0 品质 4 产能	0.082296%	1216
铸造厂	4 品质 0 产能	4 品质 0 产能	4 品质 0 产能	4 品质 0 产能	0 品质 4 产能	0.243699%	410
电磁工厂	4.7 品质 0.3 产能	4.67 品质 0.33 产能	4.75 品质 0.25 产能	4.9 品质 0.1 产能	0 品质 5 产能	0.324189%	309
低温工厂	4.6 品质 3.4 产能	4.6 品质 3.4 产能	4.67 品质 3.33 产能	5 品质 3 产能	0 品质 8 产能	0.257621%	389

插件用稀有品质

机器	基础品质所用的插件	精良品质所用的插件	稀有品质所用的插件	史诗品质所用的插件	传说品质所用的插件	产出传说物品比例	回收的物品*
化工厂	2.8 品质 0.2 产能	2.8 品质 0.2 产能	2.9 品质 0.1 产能	2.9 品质 0.1 产能	0 品质 3 产能	0.100660%	994
组装机3型	3 品质 1 产能	3.1 品质 0.9 产能	3.2 品质 0.8 产能	3.33 品质 0.67 产能	0 品质 4 产能	0.145220%	689
铸造厂	3.5 品质 0.5 产能	3.5 品质 0.5 产能	3.6 品质 0.4 产能	3.9 品质 0.1 产能	0 品质 4 产能	0.424039%	236
电磁工厂	3.6 品质 1.4 产能	3.6 品质 1.4 产能	3.6 品质 1.4 产能	3.9 品质 1.1 产能	0 品质 5 产能	0.588510%	170
低温工厂	3.6 品质 4.4 产能	3.6 品质 4.4 产能	3.6 品质 4.4 产能	3.9 品质 4.1 产能	0 品质 8 产能	0.565030%	177

插件用史诗品质

机器	基础品质所用的插件	精良品质所用的插件	稀有品质所用的插件	史诗品质所用的插件	传说品质所用的插件	产出传说物品比例	回收的物品*
化工厂	2.33 品质 0.67 产能	2.4 品质 0.6 产能	2.4 品质 0.6 产能	2.4 品质 0.6 产能	0 品质 3 产能	0.152486%	656
组装机3型	2.5 品质 1.5 产能	2.5 品质 1.5 产能	2.6 品质 1.4 产能	2.8 品质 1.2 产能	0 品质 4 产能	0.232966%	430
铸造厂	2.7 品质 1.3 产能	2.7 品质 1.3 产能	2.75 品质 1.25 产能	3 品质 1 产能	0 品质 4 产能	0.664130%	151
电磁工厂	2.6 品质 2.4 产能	2.6 品质 2.4 产能	2.67 品质 2.33 产能	2.9 品质 2.1 产能	0 品质 5 产能	0.974700%	103
低温工厂	2.6 品质 5.4 产能	2.6 品质 5.4 产能	2.6 品质 4.4 产能	2.8 品质 4.2 产能	0 品质 8 产能	1.122444%	90

插件用传说品质

机器	基础品质所用的插件	精良品质所用的插件	稀有品质所用的插件	史诗品质所用的插件	传说品质所用的插件	产出传说物品比例	回收的物品*
化工厂	1.67 品质 1.33 产能	1.67 品质 1.33 产能	1.67 品质 1.333 产能	1.8 品质 1.2 产能	0 品质 3 产能	0.344061%	291
组装机3型	1.67 品质 2.33 产能	1.67 品质 2.33 产能	1.67 品质 2.33 产能	1.8 品质 2.2 产能	0 品质 4 产能	0.586191%	171
铸造厂	1.4 品质 2.6 产能	1.4 品质 2.6 产能	1.4 品质 2.6 产能	1.5 品质 2.5 产能	0 品质 4 产能	1.624266%	62
电磁工厂	1 品质 4 产能	1 品质 4 产能	1 品质 4 产能	1 品质 4 产能	0 品质 5 产能	2.722332%	37
低温工厂	0 品质 8 产能	0 品质 8 产能	0 品质 8 产能	0 品质 8 产能	0 品质 8 产能	4.835199%	21

* “回收的物品”表示，需要制作多少物品，然后放进整个升品工厂里才能够产出一个传说物品。光看名称可能会以为它会计入被回收多次的物品，其实并没有。

机器数量

假设精良物品源源不断地流入，也就是说总是会填满缓冲区，那么可以计算出系统内各个物品的比例，进而计算出生产各种品质的机器所需的数量。在每次迭代结束后，令 $m_{1,k+1}=100\mathrm{\%}-m_{2,k+1}-m_{3,k+1}-m_{4,k+1}$，然后根据插件可以算出机器的速度（假设只装产能插件的机器没有被装了速度插件的插件塔影响到），进而可以计算出各种机器所需的数量。详见后文的计算。

每个回收机所需的机器

机器	回收机	生产基础品质的机器	生产精良品质的机器	生产稀有品质的机器	生产史诗品质的机器	生产传说品质的机器
化工厂	1	4.418130519	0.037216657	1.294369664	0.009779	0.431955
组装机3型	1	4.733868899	0.052316655	1.527502978	0.015336	0.52576
铸造厂	1	4.314446	0.082198	1.683088	0.03016	0.58448
电磁工厂	1	4.494435	0.116985	1.93479	0.049665	0.60795
低温工厂	1	5.23556	0.21384	2.53374	0.1034	0.594

每个传说机器所需的其它机器（密率）

机器	回收机	生产基础品质的机器	生产精良品质的机器	生产稀有品质的机器	生产史诗品质的机器	生产传说品质的机器
化工厂	90.1223	331.8198	38.5325	11.2893	2.9653	1
组装机3型	52.8432	208.4632	30.3992	9.8094	2.8783	1
铸造厂	24.7668	89.0483	19.9206	7.7712	2.8592	1
电磁工厂	16.5379	61.9418	17.4010	7.4908	3.1822	1
低温工厂	10.8718	47.4350	18.2124	8.8138	4.2654	1

每个传说机器所需的其它机器（约率）

机器	回收机	生产基础品质的机器	生产精良品质的机器	生产稀有品质的机器	生产史诗品质的机器	生产传说品质的机器
化工厂	53	198	23	7	2	1
组装机3型	31	123	18	6	2	1
铸造厂	14	53	12	5	2	1
电磁工厂	14	56	16	7	3	1
低温工厂	9	41	16	8	4	1

各机器数据

机器	插件槽位 $N$	基础产能 $p_0$
化工厂	3	+0%
组装机3型	4	+0%
铸造厂	4	+50%
电磁工厂	5	+50%
低温工厂	8	+0%

升品概率

物品被生产出时，假如已经通过随机数确定了产品会提高品质，那么有 90% 的概率提升一级，有 9% 的概率连升两级，有 0.9% 的概率连升三级，以及剩下的 0.1% 概率会直接升满。当然如果物品刚开始就是比较高的等级的话这些概率也会改变。

数学模型

我们所用的数学模型对时间是离散的。对时间求导太麻烦了，所以我们认为“下一个状态”是关于“上一个状态”的函数。

• $m_{i,k}$ : $k$ 次迭代后并且没有开始制作物品时，$i$ 级原料的数量（1 表示基础品质，2 表示精良，3 表示稀有，4 表示史诗，5 表示传说）虽然只用了一个变量，但并不是说必须只有一种原料，这个变量表示的是“制作一个物品”所需的一份原料。
• $n_{i,k}$ : $k$ 次迭代并且已经制作完了物品后，产物的数量。
• $p_0$ : 机器内置产能。
• $N$ : 机器插件槽位。
• $q_r=4\times 6.2\mathrm{\%}=0.248$ : 装满品质插件的回收机的升品概率。（6.2% 是传说品质插件 3 的升品概率）
• $p_i=p_0+x_i\cdot 25\mathrm{\%}$ : 装了 $x_i$ 个传说产能插件 3后组装机的产能加成。角标 $i$ 表示生产 $i$ 级产品的组装机。
• $q_i=(N-x_i)\cdot 6.2\mathrm{\%}$ : 装了 $(N-x_i)$ 个传说品质插件 3 后的升品概率。角标 $i$ 表示生产 $i$ 级产品的组装机。

回收出的原材料

我们知道回收机会产出四分之一的原材料，并且同样遵从升品概率规则，所以可以计算出回收之后手上的原材料数量。这部分计算非常简单，因为精良产品只有可能来自于升级失败的精良原料。再高一级是精良原料升级成功且刚好升一级的产品，也就是 90% 升级成功的产品，再加上稀有原料升级失败的产品。对每一层都有类似的结论，但是传说物品 $n_{5,k}$ 不会被回收。

$\begin{array}{rl}\text{基础品质原料：}{m}_{1,k+1}& =\frac{n_{1,k}}{4}\cdot (1-q_r)\\ \text{精良品质原料：}{m}_{2,k+1}& =\frac{n_{1,k}}{4}\cdot q_r\cdot 0.9& +& \frac{n_{2,k}}{4}\cdot (1-q_r)\\ \text{稀有品质原料：}{m}_{3,k+1}& =\frac{n_{1,k}}{4}\cdot q_r\cdot 0.09& +& \frac{n_{2,k}}{4}\cdot q_r\cdot 0.9& +& \frac{n_{3,k}}{4}\cdot (1-q_r)\\ \text{史诗品质原料：}{m}_{4,k+1}& =\frac{n_{1,k}}{4}\cdot q_r\cdot 0.009& +& \frac{n_{2,k}}{4}\cdot q_r\cdot 0.09& +& \frac{n_{3,k}}{4}\cdot q_r\cdot 0.9& +& \frac{n_{4,k}}{4}\cdot (1-q_r)\\ \text{传说品质原料：}{m}_{5,k+1}& =\frac{n_{1,k}}{4}\cdot q_r\cdot 0.001& +& \frac{n_{2,k}}{4}\cdot q_r\cdot 0.01& +& \frac{n_{3,k}}{4}\cdot q_r\cdot 0.1& +& \frac{n_{4,k}}{4}\cdot q_r\\ \end{array}$

也可以写作向量与矩阵的乘法 $m_{k+1}=A{n}_k$，其中：

$\underset{m_{k+1}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{m}_{1,k+1}\\ m_{2,k+1}\\ m_{3,k+1}\\ m_{4,k+1}\\ m_{5,k+1}\\ \end{array}\right]}}=\underset{A}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccccc}\frac{1-q_r}{4}& 0& 0& 0& 0\\ \frac{0.9q_r}{4}& \frac{1-q_r}{4}& 0& 0& 0\\ \frac{0.09q_r}{4}& \frac{0.9q_r}{4}& \frac{1-q_r}{4}& 0& 0\\ \frac{0.009q_r}{4}& \frac{0.09q_r}{4}& \frac{0.9q_r}{4}& \frac{1-q_r}{4}& 0\\ \frac{0.001q_r}{4}& \frac{0.01q_r}{4}& \frac{0.1q_r}{4}& \frac{q_r}{4}& 0\\ \end{array}\right]}}\underset{n_k}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{n}_{1,k}\\ n_{2,k}\\ n_{3,k}\\ n_{4,k}\\ n_{5,k}\\ \end{array}\right]}}$

我们觉得回收机速度不太重要，所以应该装满品质插件，因此 $q_r=0.248$ 是常量，进而矩阵 $A$ 也是常量。对于传说品质插件 3，这个矩阵是：

$A=\left[\begin{array}{ccccc}0.188& 0& 0& 0& 0\\ 0.0558& 0.188& 0& 0& 0\\ 0.00558& 0.0558& 0.188& 0& 0\\ 0.000558& 0.00558& 0.0558& 0.188& 0\\ 0.000062& 0.00062& 0.0062& 0.062& 0\end{array}\right]$

重新制造物品

再来一次，我们首先看看生产了多少物品，和之前一样把所有到达该品质的路径加起来就好了，但是这次还要再算入 $p_i$，以及手上已经有的传说产品，也就是 $n_{5,k}$：

$\begin{array}{rlrlr}\text{基础品质产物：}& n_{1,k+1}& =& m_{1,k+1}\cdot (1+p_1)\cdot (1-q_1)& \\ \text{精良品质产物：}& n_{2,k+1}& =& m_{1,k+1}\cdot (1+p_1)\cdot q_1\cdot 0.9& +& m_{2,k+1}\cdot (1+p_2)\cdot (1-q_2)& \\ \text{稀有品质产物：}& n_{3,k+1}& =& m_{1,k+1}\cdot (1+p_1)\cdot q_1\cdot 0.09& +& m_{2,k+1}\cdot (1+p_2)\cdot q_2\cdot 0.9& +& m_{3,k+1}\cdot (1+p_3)\cdot (1-q_3)& \\ \text{史诗品质产物：}& n_{4,k+1}& =& m_{1,k+1}\cdot (1+p_1)\cdot q_1\cdot 0.009& +& m_{2,k+1}\cdot (1+p_2)\cdot q_2\cdot 0.09& +& m_{3,k+1}\cdot (1+p_3)\cdot q_3\cdot 0.9& +& m_{4,k+1}\cdot (1+p_4)\cdot (1-q_4)& \\ \text{传说品质产物：}& n_{5,k+1}& =& m_{1,k+1}\cdot (1+p_1)\cdot q_1\cdot 0.001& +& m_{2,k+1}\cdot (1+p_2)\cdot q_2\cdot 0.01& +& m_{3,k+1}\cdot (1+p_3)\cdot q_3\cdot 0.1& +& m_{4,k+1}\cdot (1+p_4)\cdot q_4& +& m_{5,k+1}\cdot (1+p_5)+n_{5,k}& \\ \end{array}$

上述等式同样可以写作向量与矩阵的乘法：$n_{k+1}=B{m}_{k+1}+C{n}_k$

$\underset{n_{k+1}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{n}_{1,k+1}\\ n_{2,k+1}\\ n_{3,k+1}\\ n_{4,k+1}\\ n_{5,k+1}\\ \end{array}\right]}}=\underset{B}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccccc}(1+p_1)\cdot (1-q_1)& 0& 0& 0& 0\\ (1+p_1)\cdot q_1\cdot 0.9& (1+p_2)\cdot (1-q_2)& 0& 0& 0\\ (1+p_1)\cdot q_1\cdot 0.09& (1+p_2)\cdot q_2\cdot 0.9& (1+p_3)\cdot (1-q_3)& 0& 0\\ (1+p_1)\cdot q_1\cdot 0.009& (1+p_2)\cdot q_2\cdot 0.09& (1+p_3)\cdot q_3\cdot 0.9& (1+p_4)\cdot (1-q_4)& 0\\ (1+p_1)\cdot q_1\cdot 0.001& (1+p_2)\cdot q_2\cdot 0.01& (1+p_3)\cdot q_3\cdot 0.1& (1+p_4)\cdot q_4& (1+p_5)\\ \end{array}\right]}}\underset{m_{k+1}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{m}_{1,k+1}\\ m_{2,k+1}\\ m_{3,k+1}\\ m_{4,k+1}\\ m_{5,k+1}\\ \end{array}\right]}}+\underset{C}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right]}}\underset{n_k}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{n}_{1,k}\\ n_{2,k}\\ n_{3,k}\\ n_{4,k}\\ n_{5,k}\\ \end{array}\right]}}$

结合起来

现在我们可以计算出任意产物在任意次迭代后的数量：

$\begin{array}{rlr}{n}_{k+1}& =& B{m}_{k+1}+C{n}_k\\ & =& BA{n}_k+C{n}_k\\ & =& (BA+C)n_k\\ & =& M{n}_k\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}{n}_{k+2}& =M{n}_{k+1}=MM{n}_k=M^2{n}_k\\ & ⋮\\ n_k& =M^k{n}_0\end{array}$

实践中 $n_0$ 只有无品质的物品。如果我们不关心传说以外的产物，我们可以选择足够大的 $k$，比如 $k=100$，其数学意义就是最大化传说产物数量。设这个数字为 $q_{100,\text{crit}}$，那么它位于矩阵 $M$ 的 100 次方之中，位置是第五行，第一列。

$\begin{array}{rl}{\text{n}}_k& =M^k{n}_0\\ \left[\begin{array}{c}*\\ *\\ *\\ *\\ n_{5,100}\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cccc}*& *& *& *\\ *& *& *& *\\ *& *& *& *\\ *& *& *& *\\ q_{100,\text{crit}}& *& *& *\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{n}_{1,0}\\ *\\ *\\ *\\ *\end{array}\right]\\ \end{array}$

优化方法（单纯型、分支限界等等）和本文主题无关，但是大部分软件应该都想要问题清晰明了地陈述，从而可以找到最小值，并且保证不会选择 0 以下或者超出机器插件槽位的数字。