Tutorial:Quality upcycling math/zh

2025-12-05T21:09:32Z

Huangkai: Created page with "{{Languages}} 怎么样的品质升级工厂能产出最多的传说物品？很可惜这个问题并不简单，很多因素都能够影响到答案。但是好在插件的可能性是有限的，至于无限科技，简单起见就直接忽略掉吧。先上结论： == 最佳配比 == 下面的表格显示了品质插件与产能插件的最佳配比，回收机全放..."

{{Languages}}
怎么样的品质升级工厂能产出最多的[[Quality|传说]]物品？

很可惜这个问题并不简单，很多因素都能够影响到答案。但是好在插件的可能性是有限的，至于[[Technologies#Space_Age|无限科技]]，简单起见就直接忽略掉吧。先上结论：

== 最佳配比 ==
下面的表格显示了[[Quality module 3|品质插件]]与[[Productivity module 3|产能插件]]的最佳配比，[[Recycler|回收机]]全放品质插件，因为只能放品质插件。数值可能不是整数，这是因为通常不会只用一台机器，而不同机器可以装不一样的插件。比方说，“3.67 品质插件 / 1.33 产能插件”可以表示总共 4 台机器，其中 3 台装了 4 个品质插件和 1 个产能插件，剩下一台装了 3 个品质插件和 2 个产能插件。

下面“X 品质所用的插件”一列表示，生产 X 品质物品的机器需要使用何种插件配比。

{| class="wikitable"
|+ 插件全都没有品质
! 机器 || 基础品质所用的插件 || 精良品质所用的插件 || 稀有品质所用的插件 || 史诗品质所用的插件 || 传说品质所用的插件 || 产出传说物品的比例 || 回收的物品*
|-
| 化工厂 || 3 品质 0 产能 || 3 品质 0 产能 || 3 品质 0 产能 || 3 品质 0 产能 || 0 品质 3 产能|| 0.034014% || 2940
|-
| 组装机3型 || 4 品质 0 产能|| 4 品质 0 产能 || 4 品质 0 产能 || 4 品质 0 产能 || 0 品质 4 产能 || 0.046275% || 2161
|-
| 铸造厂 || 4 品质 0 产能 || 4 品质 0 产能 || 4 品质 0 产能 || 4 品质 0 产能 || 0 品质 4 产能 || 0.133814% || 747
|-
| 电磁工厂 || 5 品质 0 产能 || 5 品质 0 产能 || 5 品质 0 产能 || 5 品质 0 产能 || 0 品质 5 产能 || 0.176712% || 566
|-
| 低温工厂 || 6 品质 2 产能 || 6 品质 2 产能 || 6 品质 2 产能 || 6.5 品质 1.5 产能 || 0 品质 8 产能 || 0.119134% || 840
|}

{| class="wikitable"
|+ 插件用精良品质
! 机器 || 基础品质所用的插件 || 精良品质所用的插件 || 稀有品质所用的插件 || 史诗品质所用的插件 || 传说品质所用的插件 || 产出传说物品比例 || 回收的物品*
|-
| 化工厂 || 3 品质 0 产能 || 3 品质 0 产能 || 3 品质 0 产能 || 3 品质 0 产能 || 0 品质 3 产能 || 0.059498% || 1681
|-
| 组装机3型 || 3.75 品质 0.25 产能 || 3.75 品质 0.25 产能 || 3.8 品质 0.2 产能 || 3.9 品质 0.1 产能 || 0 品质 4 产能 || 0.082296% || 1216
|-
| 铸造厂 || 4 品质 0 产能 || 4 品质 0 产能 || 4 品质 0 产能 || 4 品质 0 产能 || 0 品质 4 产能 || 0.243699% || 410
|-
| 电磁工厂 || 4.7 品质 0.3 产能 || 4.67 品质 0.33 产能 || 4.75 品质 0.25 产能 || 4.9 品质 0.1 产能 || 0 品质 5 产能 || 0.324189% || 309
|-
| 低温工厂 || 4.6 品质 3.4 产能 || 4.6 品质 3.4 产能 || 4.67 品质 3.33 产能 || 5 品质 3 产能 || 0 品质 8 产能 || 0.257621% || 389
|}

{| class="wikitable"
|+ 插件用稀有品质
! 机器 || 基础品质所用的插件 || 精良品质所用的插件 || 稀有品质所用的插件 || 史诗品质所用的插件 || 传说品质所用的插件 || 产出传说物品比例 || 回收的物品*
|-
| 化工厂 || 2.8 品质 0.2 产能 || 2.8 品质 0.2 产能 || 2.9 品质 0.1 产能 || 2.9 品质 0.1 产能 || 0 品质 3 产能 || 0.100660% || 994
|-
| 组装机3型 || 3 品质 1 产能 || 3.1 品质 0.9 产能 || 3.2 品质 0.8 产能 || 3.33 品质 0.67 产能 || 0 品质 4 产能 || 0.145220% || 689
|-
| 铸造厂 || 3.5 品质 0.5 产能 || 3.5 品质 0.5 产能 || 3.6 品质 0.4 产能 || 3.9 品质 0.1 产能 || 0 品质 4 产能 || 0.424039% || 236
|-
| 电磁工厂 || 3.6 品质 1.4 产能 || 3.6 品质 1.4 产能 || 3.6 品质 1.4 产能 || 3.9 品质 1.1 产能 || 0 品质 5 产能 || 0.588510% || 170
|-
| 低温工厂 || 3.6 品质 4.4 产能 || 3.6 品质 4.4 产能 || 3.6 品质 4.4 产能 || 3.9 品质 4.1 产能 || 0 品质 8 产能 || 0.565030% || 177
|}

{| class="wikitable"
|+ 插件用史诗品质
! 机器 || 基础品质所用的插件 || 精良品质所用的插件 || 稀有品质所用的插件 || 史诗品质所用的插件 || 传说品质所用的插件 || 产出传说物品比例 || 回收的物品*
|-
| 化工厂 || 2.33 品质 0.67 产能 || 2.4 品质 0.6 产能 || 2.4 品质 0.6 产能 || 2.4 品质 0.6 产能 || 0 品质 3 产能 || 0.152486% || 656
|-
| 组装机3型 || 2.5 品质 1.5 产能 || 2.5 品质 1.5 产能 || 2.6 品质 1.4 产能 || 2.8 品质 1.2 产能 || 0 品质 4 产能 || 0.232966% || 430
|-
| 铸造厂 || 2.7 品质 1.3 产能 || 2.7 品质 1.3 产能 || 2.75 品质 1.25 产能 || 3 品质 1 产能 || 0 品质 4 产能 || 0.664130% || 151
|-
| 电磁工厂 || 2.6 品质 2.4 产能 || 2.6 品质 2.4 产能 || 2.67 品质 2.33 产能 || 2.9 品质 2.1 产能 || 0 品质 5 产能 || 0.974700% || 103
|-
| 低温工厂 || 2.6 品质 5.4 产能 || 2.6 品质 5.4 产能 || 2.6 品质 4.4 产能 || 2.8 品质 4.2 产能 || 0 品质 8 产能 || 1.122444% || 90
|}

{| class="wikitable"
|+ 插件用传说品质
! 机器 || 基础品质所用的插件 || 精良品质所用的插件 || 稀有品质所用的插件 || 史诗品质所用的插件 || 传说品质所用的插件 || 产出传说物品比例 || 回收的物品*
|-
| 化工厂 || 1.67 品质 1.33 产能 || 1.67 品质 1.33 产能 || 1.67 品质 1.333 产能 || 1.8 品质 1.2 产能 || 0 品质 3 产能 || 0.344061% || 291
|-
| 组装机3型 || 1.67 品质 2.33 产能 || 1.67 品质 2.33 产能 || 1.67 品质 2.33 产能 || 1.8 品质 2.2 产能 || 0 品质 4 产能 || 0.586191% || 171
|-
| 铸造厂 || 1.4 品质 2.6 产能 || 1.4 品质 2.6 产能 || 1.4 品质 2.6 产能 || 1.5 品质 2.5 产能 || 0 品质 4 产能 || 1.624266% || 62
|-
| 电磁工厂 || 1 品质 4 产能 || 1 品质 4 产能 || 1 品质 4 产能 || 1 品质 4 产能 || 0 品质 5 产能 || 2.722332% || 37
|-
| 低温工厂 || 0 品质 8 产能 || 0 品质 8 产能 || 0 品质 8 产能 || 0 品质 8 产能 || 0 品质 8 产能 || 4.835199% || 21
|}
<nowiki>*</nowiki> “回收的物品”表示，需要制作多少物品，然后放进整个升品工厂里才能够产出一个传说物品。光看名称可能会以为它会计入被回收多次的物品，其实并没有。

=== 机器数量 ===
假设精良物品源源不断地流入，也就是说总是会填满缓冲区，那么可以计算出系统内各个物品的比例，进而计算出生产各种品质的机器所需的数量。在每次迭代结束后，令 <math>m_{1,k+1} = 100 \, \% - m_{2,k+1} - m_{3,k+1} - m_{4,k+1}</math>，然后根据插件可以算出机器的速度（假设只装产能插件的机器没有被装了[[Speed module 3|速度插件]]的[[beacon|插件塔]]影响到），进而可以计算出各种机器所需的数量。详见后文的计算。

{| class="wikitable"
|+ 每个回收机所需的机器
! 机器 || 回收机 || 生产基础品质的机器 || 生产精良品质的机器 || 生产稀有品质的机器 || 生产史诗品质的机器 || 生产传说品质的机器
|-
| 化工厂 || 1 || 4.418130519 || 0.037216657 || 1.294369664 || 0.009779 || 0.431955
|-
| 组装机3型 || 1 || 4.733868899 || 0.052316655 || 1.527502978 || 0.015336 || 0.52576
|-
| 铸造厂 || 1 || 4.314446 || 0.082198 || 1.683088 || 0.03016 || 0.58448
|-
| 电磁工厂 || 1 || 4.494435 || 0.116985 || 1.93479 || 0.049665 || 0.60795
|-
| 低温工厂 || 1 || 5.23556 || 0.21384 || 2.53374 || 0.1034 || 0.594
|}

{| class="wikitable"
|+ 每个传说机器所需的其它机器（密率）
! 机器 || 回收机 || 生产基础品质的机器 || 生产精良品质的机器 || 生产稀有品质的机器 || 生产史诗品质的机器 || 生产传说品质的机器
|-
| 化工厂 || 90.1223 || 331.8198 || 38.5325 || 11.2893 || 2.9653 || 1
|-
| 组装机3型 || 52.8432 || 208.4632 || 30.3992 || 9.8094 || 2.8783 || 1
|-
| 铸造厂 || 24.7668 || 89.0483 || 19.9206 || 7.7712 || 2.8592 || 1
|-
| 电磁工厂 || 16.5379 || 61.9418 || 17.4010 || 7.4908 || 3.1822 || 1
|-
| 低温工厂 || 10.8718 || 47.4350 || 18.2124 || 8.8138 || 4.2654 || 1
|}

{| class="wikitable"
|+ 每个传说机器所需的其它机器（约率）
! 机器 || 回收机 || 生产基础品质的机器 || 生产精良品质的机器 || 生产稀有品质的机器 || 生产史诗品质的机器 || 生产传说品质的机器
|-
| 化工厂 || 53 || 198 || 23 || 7 || 2 || 1
|-
| 组装机3型 || 31 || 123 || 18 || 6 || 2 || 1
|-
| 铸造厂 || 14 || 53 || 12 || 5 || 2 || 1
|-
| 电磁工厂 || 14 || 56 || 16 || 7 || 3 || 1
|-
| 低温工厂 || 9 || 41 || 16 || 8 || 4 || 1
|}

== 各机器数据 ==
{| class="wikitable"
! 机器 || 插件槽位 <math>N</math> || 基础产能 <math>p_0</math>
|-
| [[Chemical plant|化工厂]] || 3 || +0%
|-
| [[Assembling machine 3|组装机3型]] || 4 || +0%
|-
| [[Foundry|铸造厂]] || 4 || +50%
|-
| [[Electromagnetic plant|电磁工厂]] || 5 || +50%
|-
| [[Cryogenic plant|低温工厂]] || 8 || +0%
|}

== 升品概率 ==
物品被生产出时，假如已经通过随机数确定了产品会提高品质，那么有 90% 的概率提升一级，有 9% 的概率连升两级，有 0.9% 的概率连升三级，以及剩下的 0.1% 概率会直接升满。当然如果物品刚开始就是比较高的等级的话这些概率也会改变。

== 数学模型 ==
我们所用的数学模型对时间是离散的。对时间求导太麻烦了，所以我们认为“下一个状态”是关于“上一个状态”的函数。

* <math>m_{i,k}</math> : <math>k</math> 次迭代后并且没有开始制作物品时，<math>i</math> 级原料的数量（1 表示基础品质，2 表示精良，3 表示稀有，4 表示史诗，5 表示传说）虽然只用了一个变量，但并不是说必须只有一种原料，这个变量表示的是“制作一个物品”所需的一份原料。
* <math>n_{i,k}</math> : <math>k</math> 次迭代并且已经制作完了物品后，产物的数量。
* <math>p_0</math> : 机器内置产能。
* <math>N</math> : 机器插件槽位。
* <math>q_r = 4 \times 6.2 \, \% = 0.248</math> : 装满[[quality module 3|品质插件]]的回收机的升品概率。（6.2% 是传说品质插件 3 的升品概率）
* <math>p_i = p_0 + x_i \cdot 25 \, \%</math> : 装了 <math>x_i</math> 个传说[[productivity module 3|产能插件 3]]后组装机的产能加成。角标 <math>i</math> 表示生产 <math>i</math> 级产品的组装机。
* <math>q_i = (N-x_i) \cdot 6.2 \, \%</math> : 装了 <math>(N - x_i)</math> 个传说品质插件 3 后的升品概率。角标 <math>i</math> 表示生产 <math>i</math> 级产品的组装机。

=== 回收出的原材料 ===
我们知道回收机会产出四分之一的原材料，并且同样遵从升品概率规则，所以可以计算出回收之后手上的原材料数量。这部分计算非常简单，因为精良产品只有可能来自于升级失败的精良原料。再高一级是精良原料升级成功且刚好升一级的产品，也就是 90% 升级成功的产品，再加上稀有原料升级失败的产品。对每一层都有类似的结论，但是传说物品 <math>n_{5,k}</math> 不会被回收。

<math>
\begin{align}
\text{基础品质原料：}\quad m_{1,k+1} &= \frac{n_{1,k}}{4} \cdot (1 - q_r)\\
\text{精良品质原料：}\quad m_{2,k+1} &= \frac{n_{1,k}}{4} \cdot q_r \cdot 0.9 &+& \frac{n_{2,k}}{4} \cdot (1 - q_r)\\
\text{稀有品质原料：}\quad m_{3,k+1} &= \frac{n_{1,k}}{4} \cdot q_r \cdot 0.09 &+& \frac{n_{2,k}}{4} \cdot q_r \cdot 0.9 &+& \frac{n_{3,k}}{4} \cdot (1 - q_r)\\
\text{史诗品质原料：}\quad m_{4,k+1} &= \frac{n_{1,k}}{4} \cdot q_r \cdot 0.009 &+& \frac{n_{2,k}}{4} \cdot q_r \cdot 0.09 &+& \frac{n_{3,k}}{4} \cdot q_r \cdot 0.9 &+& \frac{n_{4,k}}{4} \cdot (1 - q_r)\\
\text{传说品质原料：}\quad m_{5,k+1} &= \frac{n_{1,k}}{4} \cdot q_r \cdot 0.001 &+& \frac{n_{2,k}}{4} \cdot q_r \cdot 0.01 &+& \frac{n_{3,k}}{4} \cdot q_r \cdot 0.1 &+& \frac{n_{4,k}}{4} \cdot q_r\\
\end{align}
</math>

也可以写作向量与矩阵的乘法 <math>m_{k+1} = An_k</math>，其中：

<math>
\underbrace{\begin{bmatrix} m_{1,k+1}\\ m_{2,k+1}\\ m_{3,k+1}\\ m_{4,k+1}\\ m_{5,k+1}\\ \end{bmatrix}}_{m_{k+1}}
=
\underbrace{\begin{bmatrix}
\frac{1 - q_r}{4} & 0 & 0 & 0 & 0\\
\frac{0.9q_r}{4} & \frac{1 - q_r}{4} & 0 & 0 & 0\\
\frac{0.09q_r}{4} & \frac{0.9 \, q_r}{4} & \frac{1 - q_r}{4} & 0 & 0 \\
\frac{0.009q_r}{4} & \frac{0.09 \, q_r}{4} & \frac{0.9 \, q_r}{4} & \frac{1 - q_r}{4} & 0\\
\frac{0.001 \, q_r}{4} & \frac{0.01 \, q_r}{4} & \frac{0.1 \, q_r}{4} & \frac{q_r}{4} & 0\\
\end{bmatrix}}_{A}
\underbrace{\begin{bmatrix} n_{1,k}\\ n_{2,k}\\ n_{3,k}\\ n_{4,k}\\ n_{5,k}\\ \end{bmatrix}}_{n_k}
</math>

我们觉得回收机速度不太重要，所以应该装满品质插件，因此 <math>q_r = 0.248</math> 是常量，进而矩阵 <math>A</math> 也是常量。对于传说品质插件 3，这个矩阵是：

<math> A =
\begin{bmatrix}
0.188 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0.0558 & 0.188 & 0 & 0 & 0 \\
0.00558 & 0.0558 & 0.188 & 0 & 0 \\
0.000558 & 0.00558 & 0.0558 & 0.188 & 0 \\
0.000062 & 0.00062 & 0.0062 & 0.062 & 0
\end{bmatrix}</math>

=== 重新制造物品 ===
再来一次，我们首先看看生产了多少物品，和之前一样把所有到达该品质的路径加起来就好了，但是这次还要再算入 <math>p_i</math>，以及手上已经有的传说产品，也就是 <math>n_{5,k}</math>：

<math>
\begin{align}
\text{基础品质产物：}\quad
&n_{1,k+1}& = &m_{1,k+1} \cdot (1 + p_1) \cdot (1 - q_1)& \\
\text{精良品质产物：}\quad
&n_{2,k+1}& = &m_{1,k+1} \cdot (1 + p_1) \cdot q_1 \cdot 0.9& +
&m_{2,k+1} \cdot (1 + p_2) \cdot (1 - q_2) & \\
\text{稀有品质产物：}\quad
&n_{3,k+1}& = &m_{1,k+1} \cdot (1 + p_1) \cdot q_1 \cdot 0.09& +
&m_{2,k+1} \cdot (1 + p_2) \cdot q_2 \cdot 0.9& +
&m_{3,k+1} \cdot (1 + p_3) \cdot (1 - q_3) & \\
\text{史诗品质产物：}\quad
&n_{4,k+1}& = &m_{1,k+1} \cdot (1 + p_1) \cdot q_1 \cdot 0.009& +
&m_{2,k+1} \cdot (1 + p_2) \cdot q_2 \cdot 0.09& +
&m_{3,k+1} \cdot (1 + p_3) \cdot q_3 \cdot 0.9& +
&m_{4,k+1} \cdot (1 + p_4) \cdot (1 - q_4) & \\
\text{传说品质产物：}\quad
&n_{5,k+1}& = &m_{1,k+1} \cdot (1 + p_1) \cdot q_1 \cdot 0.001& +
&m_{2,k+1} \cdot (1 + p_2) \cdot q_2 \cdot 0.01& +
&m_{3,k+1} \cdot (1 + p_3) \cdot q_3 \cdot 0.1& +
&m_{4,k+1} \cdot (1 + p_4) \cdot q_4 & +
&m_{5,k+1} \cdot (1 + p_5) + n_{5,k} & \\
\end{align}
</math>

上述等式同样可以写作向量与矩阵的乘法：<math>n_{k+1} = Bm_{k+1} + Cn_{k}</math>

<math>
\underbrace{\begin{bmatrix} n_{1,k+1}\\ n_{2,k+1}\\ n_{3,k+1}\\ n_{4,k+1}\\ n_{5,k+1}\\ \end{bmatrix}}_{n_{k+1}} =
\underbrace{\begin{bmatrix}
( 1 + p_1 ) \cdot (1 - q_1) & 0 & 0 & 0 & 0 \\
( 1 + p_1 ) \cdot q_1 \cdot 0.9 & ( 1 + p_2 ) \cdot (1 - q_2) & 0 & 0 & 0 \\
( 1 + p_1 ) \cdot q_1 \cdot 0.09 & ( 1 + p_2 ) \cdot q_2 \cdot 0.9 & ( 1 + p_3 ) \cdot (1 - q_3) & 0 & 0 \\
( 1 + p_1 ) \cdot q_1 \cdot 0.009 & ( 1 + p_2 ) \cdot q_2 \cdot 0.09 & ( 1 + p_3 ) \cdot q_3 \cdot 0.9 & ( 1 + p_4) \cdot (1 - q_4) & 0 \\
( 1 + p_1 ) \cdot q_1 \cdot 0.001 & ( 1 + p_2 ) \cdot q_2 \cdot 0.01 & ( 1 + p_3 ) \cdot q_3 \cdot 0.1 & ( 1 + p_4) \cdot q_4 & ( 1 + p_5)\\
\end{bmatrix}}_{B}
\underbrace{\begin{bmatrix} m_{1,k+1}\\ m_{2,k+1}\\ m_{3,k+1}\\ m_{4,k+1}\\ m_{5,k+1}\\ \end{bmatrix}}_{m_{k+1}}
+
\underbrace{\begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}}_{C}
\underbrace{\begin{bmatrix} n_{1,k}\\ n_{2,k}\\ n_{3,k}\\ n_{4,k}\\ n_{5,k}\\ \end{bmatrix}}_{n_k}
</math>

=== 结合起来 ===
现在我们可以计算出任意产物在任意次迭代后的数量：

<math>
\begin{align}
n_{k+1} &=& Bm_{k+1} + Cn_{k} \\
&=& BAn_{k} + Cn_{k} \\
&=& (BA + C)n_{k} \\
&=& Mn_{k} \\
\end{align}
</math>

<math>
\begin{align}
n_{k+2} &= Mn_{k+1} = MMn_{k} = M^{2}n_{k} \\
&\vdots \\
n_{k} &= M^{k}n_{0}
\end{align}
</math>

实践中 <math>n_0</math> 只有无品质的物品。如果我们不关心传说以外的产物，我们可以选择足够大的 <math>k</math>，比如 <math>k=100</math>，其数学意义就是最大化传说产物数量。设这个数字为 <math>q_{100,\text{crit}}</math>，那么它位于矩阵 <math>M</math> 的 100 次方之中，位置是第五行，第一列。

<math>
\begin{align}
\textbf{n}_k &= M^{k}n_0\\
\begin{bmatrix}*\\ *\\ *\\ *\\ n_{5,100} \end{bmatrix} &=
\begin{bmatrix}
* & * & * & * \\
* & * & * & * \\
* & * & * & * \\
* & * & * & * \\
q_{100,\text{crit}} & * & * & * \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}n_{1,0}\\ *\\ *\\ *\\ * \end{bmatrix}\\
\end{align}
</math>

优化方法（单纯型、分支限界等等）和本文主题无关，但是大部分软件应该都想要问题清晰明了地陈述，从而可以找到最小值，并且保证不会选择 0 以下或者超出机器插件槽位的数字。

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